Un dels misteris del número 7.

Enigma difícil, de diumenge, 20 de desembre de 2020.

Quan hi entra l’infinit, les matemàtiques pugen un graó.

Què tenen en comú una curiosa graella de números i la divisió decimal d’un entre set?

Mira bé aquesta graella de números. Pots descobrir com està feta? Pensa-ho un moment abans de continuar:

A cada casella hi ha un sol dígit. A la primera fila hi ha el 7, alineat a la dreta. A la segona fila hi ha el 14, que és el doble de 7, alineat a la dreta. A la tercera fila hi ha el 28, que és el doble de 14, alineat a la dreta. I així successivament; a cada fila hi ha el doble del número de la fila anterior, alineat a la dreta.
Hi ha 16 files (la darrera és la del 229376); però podríem haver continuat la graella fins a arribar al número de files que volguéssim (la graella també tindria més columnes).

Transformo la graella de la següent manera: Deixo al mateix lloc la primera fila i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Després elimino les columnes buides de l’esquerra:

Deixo al mateix lloc les files primera i segona, i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Després elimino les columnes buides de l’esquerra:

Deixo al mateix lloc les files primera, segona i tercera, i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Després elimino la columna buida de l’esquerra:

Deixo al mateix lloc les files primera, segona, tercera i quarta, i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Ara ja no queda cap columna buida a l’esquerra, que s’hagi d’eliminar:

Vaig repetint aquest procés per les altres files. Al final em queda aquesta graella:

Aquesta és la curiosa graella de números a la que es refereix el títol.

Agafo una part d’aquesta graella: la intersecció de les 4 primeres files amb les 8 primeres columnes, i sumo:

Fixa’t en la seqüència numèrica 142857 de les sis primeres columnes de l’esquerra.

Ara, de la mateixa graella agafo la intersecció de les 8 primeres files amb les 16 primeres columnes, i sumo:

La seqüència numèrica 142857 es repeteix dues vegades a les dotze primeres columnes de l’esquerra.

De la mateixa graella, agafo la intersecció de les 11 primeres files amb les 22 primeres columnes, i sumo:

La seqüència numèrica 142857 es repeteix tres vegades a les divuit primeres columnes de l’esquerra.

Sembla que si prenem prou tros de la graella (que, si cal, es pot anar ampliant), podem aconseguir que la seqüència numèrica 142857 es repeteixi tantes vegades com vulguem. Mira:

Si a les sis columnes de la dreta hi ha 138176 en lloc de 142857 és perquè la graella s’ha interromput a la fila del 229376. Si s’hagués continuat amb la fila del 458752, la del 917504, la del 1835008, etc., aquest 138176 seria un altre 142857. Mira:

Aquesta contínua repetició del 142857 forma la primera part d’aquest misteri de 7 ; però la cosa no s’acaba aquí. Mira què passa si es fa la divisió decimal de 1 entre 7:

Tant si es fa la divisió a mà com si es fa amb la calculadora, el quocient és:

0,142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857

Dóna un número decimal periòdic pur de període 142857. Aquesta és la segona part d’aquest misteri del 7. L’interrogant és òbvi:

té quelcom a veure una part del misteri amb l’altra?.

Pregunta per a estudiants de secundària als que els agradin les matemàtiques.

Salut!, Pau i Bé

i recorda: Distància, mascareta i mans netes.

Una curiosa relació.

Història matemàtica, de divendres, 18 de desembre de 2020.

La relació que hi ha entre el bitllet de 20$ U.S.A., en Michael Jordan, el triangle rectangle isòsceles i el número e.

En Michael Jordan ha estat un dels millors jugadors de bàsquet de tots els temps. Quan jugava, va acabar portant el número 23.

Potser és per això que altres jugadors que han vingut després, com LeBron James (Lakers) i Anthony Davis (New Orleans), ha adoptat el número 23.

El problema arribà quan Davis va fitxar pels Lakers. En un equip no hi pot haver dos jugadors amb el mateix número. Per això, el número de Davis va perdre dues desenes. Recorda el número 23.

Si parteixes un quadrat per una diagonal, tens dos triangles rectangles isòsceles idèntics. Tot  triangle rectangle isòsceles té tres angles que mesuren 45, 90 i 45 graus. Recorda aquests tres números: 45, 90 i 45.

Et sona aquesta cara? És possible que sí; aviat veuràs per què. Aquest senyor es deia Andrew Jackson.

Els seus avantpassats van ser uns irlandesos pobres que emigraren als Estats Units d’Amèrica per trobar una mica de benestar. Ell va arribar a ser president del país. Va ser el setè president. Guanyà les eleccions el novembre de 1828 i va ser president durant dos mandats, de 1829 a 1837. Recorda aquests dos números: 7 i 1828.

Com que es deia Jackson, durant la campanya electoral, els seus detractors l’insultaven dient-li “jackass”, que vol dir burro (i també idiota). Ell va treure rèdit d’això: Ho va aprofitar per guanyar-se la simpatia i els vots de la gent. S’autoanomenava “jackass”  i va adoptar la imatge d’un burro com a emblema del seu partit. Encara ara, el mateix burro és el símbol del Democratic Party de l’Obama i en Biden.

Alguns consideren que Jackson va ser un dels grans genocides del segle XIX. Durant els seus mandats hi va haver el gran extermini dels indis nadius nord americans.

Els pocs que van quedar vius van ser desposseïts de les seves terres i confinats a les reserves. Els exhibien com un atavisme folklòric.

Però molts estatunidencs estan orgullosos d’en Jackson. La seva cara surt als bitllets de 20 dòlars U.S.A. (és per això que potser et sonava).

L’alfabet grec té la lletra pi, que en matemàtiques serveix per donar nom a un número famós.

Qui no recorda el número pi? Qui no s’ha fet alguna vegada un embolic amb allò del “dos pi erra” i el “pi erra dos”. Les mateixes tres paraules, posades en diferent ordre volen dir coses diferents. Si el dos va al davant, és la longitud de la circumferència; però si val al darrere i levita una mica, és l’àrea del cercle.

Diem que pi és 3,14 ; o que és 3,1416 , si necessitem tenir-lo amb més precisió. Però en realitat, les xifres decimals de pi no s’acaben mai i apareixen de forma totalment desordenada i aleatòria:

En matemàtiques hi ha un altre número que també és molt important: el número e. Té unes característiques semblants a les del número pi; però no és tan popular com ell:

T’imagines saber-se de memòria el número e fins a la dissetena xifra decimal? No serveix per a gaire res més que per impressionar els parents, amics, coneguts o el noi o noia que t’agrada i que et vols “lligar”; però “mola”. El truc és pensar en el bitllet de 20 dòlars:

  • 20 dòlars són 2 desenes: 2,
  • Al bitllet de 20 dòlars hi surt el president Jackson, que va ser el setè president U.S.A.: 2,7
  • Jackson va guanyar les eleccions el 1828 i va tenir dos mandats: 2,718281828
  • Si el bitllet de 20 dòlars fos quadrat, es podria plegar per una diagonal i tindríem un triangle rectangle isòsceles, els angles del qual serien de 45, 90 i 45 graus: 2,718281828459045
  • Michael Jordan portava el número 23: 2,71828182845904523

I ja tens el número e fins a la dissetena xifra decimal: 2,71828182845904523

Salut!, Pau i Bé

i recorda: Distància, mascareta i mans netes.

Selectivitat · Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials · 17SS2Ex2

Setembre 2017 · Sèrie 2 · Exercici 2
Exercici 2

Pessics de Matemàtiques relacionats amb l’exercici.

  • Clica sobre els enllaços de color blau verd per veure el contingut.
  • Si ho mires amb l’ordinador, quan obris un PM fes-ho clicant amb el botó dret del ratolí, i demanant “Obre l’enllaç en una pestanya nova. D’aquesta manera no deixes de veure l’exercici.

(pendent d’elaboració).

L’enllaç següent et permet veure l’índex de tots els:
Pessics de Matemàtiques (PM)

Observacions :

  • Per contactar amb mi, envia un correu electrònic a
    paucasanyas@gmail.com
  • Pots presentar-te, dient-me el teu nom i cognoms, la localitat on vius, el centre on estudies i totes les informacions que consideris oportunes.
  • Aquest exercici també és al meu Drive. Si tinc el teu correu electrònic, podré compartir amb tu les dues carpetes d’exercicis i resultats teòrics del Drive: “00 Selectivitat” i “00Pessics de Matemàtiques“.
  • Pots demanar-me aclariments sobre alguna qüestió de l’exercici que no hagis acabat d’entendre. Sempre procuraré contestar.
  • Pots proposar-me exercicis nous, perquè jo els faci i els pengi al Blog i al Drive ( també te’ls faré arribar personalment).
  • Pots avisar-me d’algun error que hagi pogut cometre, perquè el pugui rectificar. T’ho agrairé.

Solució:

Espero que hagis trobat útil i interessant aquest post.

Salut!, Pau i Bé

Selectivitat · Matemàtiques Científiques, Sanitàries i Tecnològiques · 17SS2Ex1

Setembre 2017 · Sèrie 2 · Exercici 1
Exercici 1

Pessics de Matemàtiques relacionats amb l’exercici.

  • Clica sobre els enllaços de color blau verd per veure el contingut.
  • Si ho mires amb l’ordinador, quan obris un PM fes-ho clicant amb el botó dret del ratolí, i demanant “Obre l’enllaç en una pestanya nova. D’aquesta manera no deixes de veure l’exercici.

(pendent d’elaboració).

L’enllaç següent et permet veure l’índex de tots els:
Pessics de Matemàtiques (PM)

Observacions :

  • Per contactar amb mi, envia un correu electrònic a:
    pau.casanyas@uvic.cat o bé paucasanyas@gmail.com
  • Pots presentar-te, dient-me el teu nom i cognoms, la localitat on vius, el centre on estudies i totes les informacions que consideris oportunes.
  • Aquest exercici també és al meu Drive. Si tinc el teu correu electrònic, podré compartir amb tu les dues carpetes d’exercicis i resultats teòrics del Drive: “00 Selectivitat” i “00Pessics de Matemàtiques“.
  • Pots demanar-me aclariments sobre alguna qüestió de l’exercici que no hagis acabat d’entendre. Sempre procuraré contestar.
  • Pots proposar-me exercicis nous, perquè jo els faci i els pengi al Blog i al Drive ( també te’ls faré arribar personalment).
  • Pots avisar-me d’algun error que hagi pogut cometre, perquè el pugui rectificar. T’ho agrairé.

Solució:

Espero que hagis trobat útil i interessant aquest post.

Salut!, Pau i Bé

Selectivitat · Matemàtiques Científiques, Sanitàries i Tecnològiques · 17JS5Ex2

Juny 2017 · Sèrie 5 · Exercici 2
Exercici 2

Pessics de Matemàtiques relacionats amb l’exercici.

  • Clica sobre els enllaços de color blau verd per veure el contingut.
  • Si ho mires amb l’ordinador, quan obris un PM fes-ho clicant amb el botó dret del ratolí, i demanant “Obre l’enllaç en una pestanya nova. D’aquesta manera no deixes de veure l’exercici.

(pendent d’elaboració).

L’enllaç següent et permet veure l’índex de tots els:
Pessics de Matemàtiques (PM)

Observacions :

  • Per contactar amb mi, envia un correu electrònic a:
    pau.casanyas@uvic.cat o bé paucasanyas@gmail.com
  • Pots presentar-te, dient-me el teu nom i cognoms, la localitat on vius, el centre on estudies i totes les informacions que consideris oportunes.
  • Aquest exercici també és al meu Drive. Si tinc el teu correu electrònic, podré compartir amb tu les dues carpetes d’exercicis i resultats teòrics del Drive: “00 Selectivitat” i “00Pessics de Matemàtiques“.
  • Pots demanar-me aclariments sobre alguna qüestió de l’exercici que no hagis acabat d’entendre. Sempre procuraré contestar.
  • Pots proposar-me exercicis nous, perquè jo els faci i els pengi al Blog i al Drive ( també te’ls faré arribar personalment).
  • Pots avisar-me d’algun error que hagi pogut cometre, perquè el pugui rectificar. T’ho agrairé.

Solució:

Espero que hagis trobat útil i interessant aquest post.

Salut!, Pau i Bé

Selectivitat · Matemàtiques Científiques, Sanitàries i Tecnològiques · 18JS5Ex4

Juny 2018 · Sèrie 5 · Exercici 4
Exercici 4

Pessics de Matemàtiques relacionats amb l’exercici.

  • Clica sobre els enllaços de color blau verd per veure el contingut.
  • Si ho mires amb l’ordinador, quan obris un PM fes-ho clicant amb el botó dret del ratolí, i demanant “Obre l’enllaç en una pestanya nova. D’aquesta manera no deixes de veure l’exercici.

(pendent d’elaboració).

L’enllaç següent et permet veure l’índex de tots els:
Pessics de Matemàtiques (PM)

Observacions :

  • Per contactar amb mi, envia un correu electrònic a:
    pau.casanyas@uvic.cat o bé paucasanyas@gmail.com
  • Pots presentar-te, dient-me el teu nom i cognoms, la localitat on vius, el centre on estudies i totes les informacions que consideris oportunes.
  • Aquest exercici també és al meu Drive. Si tinc el teu correu electrònic, podré compartir amb tu les dues carpetes d’exercicis i resultats teòrics del Drive: “00 Selectivitat” i “00Pessics de Matemàtiques“.
  • Pots demanar-me aclariments sobre alguna qüestió de l’exercici que no hagis acabat d’entendre. Sempre procuraré contestar.
  • Pots proposar-me exercicis nous, perquè jo els faci i els pengi al Blog i al Drive ( també te’ls faré arribar personalment).
  • Pots avisar-me d’algun error que hagi pogut cometre, perquè el pugui rectificar. T’ho agrairé.

Solució:

Espero que hagis trobat útil i interessant aquest post.

Salut!, Pau i Bé

Selectivitat · Matemàtiques Científiques, Sanitàries i Tecnològiques · 18JS1Ex1

Juny 2018 · Sèrie 1 · Exercici 1
Exercici 1

Pessics de Matemàtiques relacionats amb l’exercici.

  • Clica sobre els enllaços de color blau verd per veure el contingut.
  • Si ho mires amb l’ordinador, quan obris un PM fes-ho clicant amb el botó dret del ratolí, i demanant “Obre l’enllaç en una pestanya nova. D’aquesta manera no deixes de veure l’exercici.

(pendent d’elaboració).

L’enllaç següent et permet veure l’índex de tots els:
Pessics de Matemàtiques (PM)

Observacions :

  • Per contactar amb mi, envia un correu electrònic a:
    pau.casanyas@uvic.cat o bé paucasanyas@gmail.com
  • Pots presentar-te, dient-me el teu nom i cognoms, la localitat on vius, el centre on estudies i totes les informacions que consideris oportunes.
  • Aquest exercici també és al meu Drive. Si tinc el teu correu electrònic, podré compartir amb tu les dues carpetes d’exercicis i resultats teòrics del Drive: “00 Selectivitat” i “00Pessics de Matemàtiques“.
  • Pots demanar-me aclariments sobre alguna qüestió de l’exercici que no hagis acabat d’entendre. Sempre procuraré contestar.
  • Pots proposar-me exercicis nous, perquè jo els faci i els pengi al Blog i al Drive ( també te’ls faré arribar personalment).
  • Pots avisar-me d’algun error que hagi pogut cometre, perquè el pugui rectificar. T’ho agrairé.

Solució:

Espero que hagis trobat útil i interessant aquest post.

Salut!, Pau i Bé

Selectivitat · Matemàtiques Científiques, Sanitàries i Tecnològiques · 19SS5Ex6

Setembre 2019 · Sèrie 5 · Exercici 6
Exercici 6

Pessics de Matemàtiques relacionats amb l’exercici.

  • Clica sobre els enllaços de color blau verd per veure el contingut.
  • Si ho mires amb l’ordinador, quan obris un PM fes-ho clicant amb el botó dret del ratolí, i demanant “Obre l’enllaç en una pestanya nova. D’aquesta manera no deixes de veure l’exercici.

(pendent d’elaboració).

L’enllaç següent et permet veure l’índex de tots els:
Pessics de Matemàtiques (PM)

Observacions :

  • Per contactar amb mi, envia un correu electrònic a:
    pau.casanyas@uvic.cat o bé paucasanyas@gmail.com
  • Pots presentar-te, dient-me el teu nom i cognoms, la localitat on vius, el centre on estudies i totes les informacions que consideris oportunes.
  • Aquest exercici també és al meu Drive. Si tinc el teu correu electrònic, podré compartir amb tu les dues carpetes d’exercicis i resultats teòrics del Drive: “00 Selectivitat” i “00Pessics de Matemàtiques“.
  • Pots demanar-me aclariments sobre alguna qüestió de l’exercici que no hagis acabat d’entendre. Sempre procuraré contestar.
  • Pots proposar-me exercicis nous, perquè jo els faci i els pengi al Blog i al Drive ( també te’ls faré arribar personalment).
  • Pots avisar-me d’algun error que hagi pogut cometre, perquè el pugui rectificar. T’ho agrairé.

Solució:

Espero que hagis trobat útil i interessant aquest post.

Salut!, Pau i Bé

Selectivitat · Matemàtiques Científiques, Sanitàries i Tecnològiques · 19JS1Ex3

Juny 2019 · Sèrie 1 · Exercici 3
Exercici 3

Pessics de Matemàtiques relacionats amb l’exercici.

  • Clica sobre els enllaços de color blau verd per veure el contingut.
  • Si ho mires amb l’ordinador, quan obris un PM fes-ho clicant amb el botó dret del ratolí, i demanant “Obre l’enllaç en una pestanya nova. D’aquesta manera no deixes de veure l’exercici.

(pendent d’elaboració).

L’enllaç següent et permet veure l’índex de tots els:
Pessics de Matemàtiques (PM)

Observacions :

  • Per contactar amb mi, envia un correu electrònic a:
    pau.casanyas@uvic.cat o bé paucasanyas@gmail.com
  • Pots presentar-te, dient-me el teu nom i cognoms, la localitat on vius, el centre on estudies i totes les informacions que consideris oportunes.
  • Aquest exercici també és al meu Drive. Si tinc el teu correu electrònic, podré compartir amb tu les dues carpetes d’exercicis i resultats teòrics del Drive: “00 Selectivitat” i “00Pessics de Matemàtiques“.
  • Pots demanar-me aclariments sobre alguna qüestió de l’exercici que no hagis acabat d’entendre. Sempre procuraré contestar.
  • Pots proposar-me exercicis nous, perquè jo els faci i els pengi al Blog i al Drive ( també te’ls faré arribar personalment).
  • Pots avisar-me d’algun error que hagi pogut cometre, perquè el pugui rectificar. T’ho agrairé.

Solució:

Espero que hagis trobat útil i interessant aquest post.

Salut!, Pau i Bé

Selectivitat · Matemàtiques Científiques, Sanitàries i Tecnològiques · 19JS1Ex1

Juny 2019 · Sèrie 1 · Exercici 1
Exercici 1

Pessics de Matemàtiques relacionats amb l’exercici.

  • Clica sobre els enllaços de color blau verd per veure el contingut.
  • Si ho mires amb l’ordinador, quan obris un PM fes-ho clicant amb el botó dret del ratolí, i demanant “Obre l’enllaç en una pestanya nova. D’aquesta manera no deixes de veure l’exercici.

(pendent d’elaboració).

L’enllaç següent et permet veure l’índex de tots els:
Pessics de Matemàtiques (PM)

Observacions :

  • Per contactar amb mi, envia un correu electrònic a:
    pau.casanyas@uvic.cat o bé paucasanyas@gmail.com
  • Pots presentar-te, dient-me el teu nom i cognoms, la localitat on vius, el centre on estudies i totes les informacions que consideris oportunes.
  • Aquest exercici també és al meu Drive. Si tinc el teu correu electrònic, podré compartir amb tu les dues carpetes d’exercicis i resultats teòrics del Drive: “00 Selectivitat” i “00Pessics de Matemàtiques“.
  • Pots demanar-me aclariments sobre alguna qüestió de l’exercici que no hagis acabat d’entendre. Sempre procuraré contestar.
  • Pots proposar-me exercicis nous, perquè jo els faci i els pengi al Blog i al Drive ( també te’ls faré arribar personalment).
  • Pots avisar-me d’algun error que hagi pogut cometre, perquè el pugui rectificar. T’ho agrairé.

Solució:

Espero que hagis trobat útil i interessant aquest post.

Salut!, Pau i Bé