Una de números quadrats

Enigma matemàtic “difícil” de dilluns, 11 de maig de 2020.

No permetis que el teu talent matemàtic es rovelli.

EXERCITA’L !!

El 12 de maig de 1900 va néixer a Barcelona el professor Pere Puig Adam, matemàtic interessat en trobar la manera òptima d’ajudar els alumnes a aprendre matemàtiques. És per això que la FESPM (Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemàticas), ens convida cada 12 de maig a celebrar el Dia Escolar de les Matemàtiques. I com que no es poden encabir totes les matemàtiques escolars en un sol dia, aquesta que avui comencem és la Setmana Escolar de les Matemàtiques.
La imatge del principi és el cartell que han fet a l’Escola Immaculada, de Lloret de Mar, per a la Setmana Escolar de les Matemàtiques 2020. L’ha fet una alumna de sisè; una mestra de l’escola, la Ceci, l’ha compartit amb nosaltres penjant-lo al compte que ADEMGI (Associació DEnsenyants de Matemàtiques de les comarques GIronines) té a Telegram.

Els 100 primers números quadrats.

Recordes els números quadrats? Són aquells números naturals que es poden obtenir elevant al quadrat algun número natural; per exemple:

  • 1 és número quadrat perquè 1 al quadrat és 1 (1 x 1 = 1); diem que 1 és el quadrat de 1.
  • 4 és número quadrat perquè 2 al quadrat és 4 (2 x 2 = 4); diem que 4 és el quadrat de 2.
  • 9 és número quadrat perquè 3 al quadrat és 9 (3 x 3 = 9); diem que 9 és el quadrat de 3.
  • Etc.

En canvi, 2 no és número quadrat perquè no hi ha cap número natural que elevat al quadrat doni 2; el mateix passa amb 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, etc.

Parteixo cada número quadrat en dues parts. La de la dreta és la xifra de les unitats. La de l’esquerra és el número format per la resta de xifres. Observa la taula següent, amb els 100 primers números quadrats “partits”:

Els 100 primers números quadrats, “partits”.


Els números sobre fons groc són els números quadrats la part esquerra dels quals és un números parell; en canvi, si la part esquerra és un número imparell, el fons és blau.
Pels números quadrats que tenen un sis a la seva part dreta, aquesta està escrita en vermell; per la resta de números, està escrita en negre.


Fixa’t que hi ha una doble coincidència:

  • Sempre que la part esquerra és imparell, la part dreta és un sis.
  • Sempre que la part dreta és un sis, la part esquerra és imparell.

En llenguatge lògic matemàtic, diríem:
Per a qualsevol número quadrat entre 1 i 10000, la part esquerra és imparell si, i només sí, la part dreta és 6.

Investiga.

Podem afirmar que això, que veiem que es compleix per als números quadrats entre 1 i 10000, és cert per a TOTS els números quadrats?.

Explica:
Prova de resoldre l’enigma. Després, si vols, pots dir-me com ho has fet (o fins on has arribat, en cas de que no hagis trobat cap solució). No em diguis només el resultat. Fes fotos amb el mòbil dels fulls que has escrit i envia-me-les adjuntades a un correu electrònic. Les meves adreces són: pau.casanyas@uvic.cat o bé paucasanyas@gmail.com
Jo m’ho miraré i t’ho retornaré amb comentaris. Guanya punts a la lliga.

Comentari:
Cada mes, la RSME (Real Sociedad Matemática Española) planteja el Problema del mes.

Hi ha diverses categories. El que han plantejat aquest mes de maig per les i els estudiants de segon cicle d’ESO (en diu categoria Cadet), té relació amb l’enigma que t’he plantejat. És el següent:

RSME. Problema del mes de maig per a la categoria Cadet.

Traduït al català, fa:
Joe Cooper i el vell McNamara son dos ramaders de l’Old Far West. Han fet de cowhands tota la seva vida i tenen un bon ramat de vaques, a mitges.

Joe Cooper i el vell McNamara.

Cansats d’anar tot el dia rere les vaques, decideixen canviar-les per ovelles, que els semblen més fàcils de menar.

1 ovella – 10 dòlars.

Al mercat de bestiar, les ovelles tenen un preu fix; un ovella val 10 dòlars. En canvi el preu de les vaques és variable; et paguen cada vaca a un preu igual al número de vaques que vols vendre:

  • Si vens una sola vaca, et donen 1 dòlar.
  • Si vens dues vaques, te les pagues a 2 dòlars cada una; et donen 4 dòlars.
  • Si vens tres vaques, te les pagues a 3 dòlars cada una; et donen 9 dòlars.
  • Etc.
El preu de cada vaca és igual al número de vaques que portes a vendre.

D’acord, és una manera ben estúpida de comprar vaques; però d’alguna manera han d’introduir els números quadrats ( 1, 4, 9, etc.) al problema.

Joe Cooper i el vell McNamara venen tot el ramat de vaques i, amb els diners que fan, compren tantes ovelles com poden. Al final, tenen un ramat amb un nombre imparell d’ovelles i els queden uns pocs dòlars, que no els arriben per comprar una ovella més. Amb aquests dòlars compren una cabra.

Les cabres són més barates que les ovelles.

Quan arriben a casa, es reparteixen els animals. Ara l’un, ara l’altre, van triant una ovella del ramat, fins que només queda l’última ovella i la cabra. Aleshores el vell McNamara diu a Joe Cooper:

El vell McNamara i Joe Cooper.
  • “Jo em quedaré l’ovella i tu et quedes la cabra.
  • “D’aquesta manera, tu hi surts guanyant”, li diu Joe Cooper.
  • “Per compensar-te, et dono el meu antic revòlver Colt, li diu el vell.
Revòlver Colt del vell McNamara.

I d’aquesta manera van tancar el tracte, de manera satisfactòria per a tots dos.

Pregunta.

En quants dòlars van valorar l’antic revòlver Colt del vell McNamara?.

Acabo amb un vídeo, per celebrar la feina ben feta.
Si t’agraden les emocions fortes, mira’l atentament fins al final:

Que hi ha algú?

Salut!, Pau i Bé
i recorda: Distància, mascaretes i mans netes.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out /  Canvia )

Google photo

Esteu comentant fent servir el compte Google. Log Out /  Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out /  Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out /  Canvia )

S'està connectant a %s