Un dels misteris del número 7.

Enigma difícil, de diumenge, 20 de desembre de 2020.

Quan hi entra l’infinit, les matemàtiques pugen un graó.

Què tenen en comú una curiosa graella de números i la divisió decimal d’un entre set?

Mira bé aquesta graella de números. Pots descobrir com està feta? Pensa-ho un moment abans de continuar:

A cada casella hi ha un sol dígit. A la primera fila hi ha el 7, alineat a la dreta. A la segona fila hi ha el 14, que és el doble de 7, alineat a la dreta. A la tercera fila hi ha el 28, que és el doble de 14, alineat a la dreta. I així successivament; a cada fila hi ha el doble del número de la fila anterior, alineat a la dreta.
Hi ha 16 files (la darrera és la del 229376); però podríem haver continuat la graella fins a arribar al número de files que volguéssim (la graella també tindria més columnes).

Transformo la graella de la següent manera: Deixo al mateix lloc la primera fila i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Després elimino les columnes buides de l’esquerra:

Deixo al mateix lloc les files primera i segona, i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Després elimino les columnes buides de l’esquerra:

Deixo al mateix lloc les files primera, segona i tercera, i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Després elimino la columna buida de l’esquerra:

Deixo al mateix lloc les files primera, segona, tercera i quarta, i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Ara ja no queda cap columna buida a l’esquerra, que s’hagi d’eliminar:

Vaig repetint aquest procés per les altres files. Al final em queda aquesta graella:

Aquesta és la curiosa graella de números a la que es refereix el títol.

Agafo una part d’aquesta graella: la intersecció de les 4 primeres files amb les 8 primeres columnes, i sumo:

Fixa’t en la seqüència numèrica 142857 de les sis primeres columnes de l’esquerra.

Ara, de la mateixa graella agafo la intersecció de les 8 primeres files amb les 16 primeres columnes, i sumo:

La seqüència numèrica 142857 es repeteix dues vegades a les dotze primeres columnes de l’esquerra.

De la mateixa graella, agafo la intersecció de les 11 primeres files amb les 22 primeres columnes, i sumo:

La seqüència numèrica 142857 es repeteix tres vegades a les divuit primeres columnes de l’esquerra.

Sembla que si prenem prou tros de la graella (que, si cal, es pot anar ampliant), podem aconseguir que la seqüència numèrica 142857 es repeteixi tantes vegades com vulguem. Mira:

Si a les sis columnes de la dreta hi ha 138176 en lloc de 142857 és perquè la graella s’ha interromput a la fila del 229376. Si s’hagués continuat amb la fila del 458752, la del 917504, la del 1835008, etc., aquest 138176 seria un altre 142857. Mira:

Aquesta contínua repetició del 142857 forma la primera part d’aquest misteri de 7 ; però la cosa no s’acaba aquí. Mira què passa si es fa la divisió decimal de 1 entre 7:

Tant si es fa la divisió a mà com si es fa amb la calculadora, el quocient és:

0,142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857

Dóna un número decimal periòdic pur de període 142857. Aquesta és la segona part d’aquest misteri del 7. L’interrogant és òbvi:

té quelcom a veure una part del misteri amb l’altra?.

Pregunta per a estudiants de secundària als que els agradin les matemàtiques.

Salut!, Pau i Bé

i recorda: Distància, mascareta i mans netes.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out /  Canvia )

Google photo

Esteu comentant fent servir el compte Google. Log Out /  Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out /  Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out /  Canvia )

S'està connectant a %s