Un dels misteris del número 7.

Enigma difícil, de diumenge, 20 de desembre de 2020.

Quan hi entra l’infinit, les matemàtiques pugen un graó.

Què tenen en comú una curiosa graella de números i la divisió decimal d’un entre set?

Mira bé aquesta graella de números. Pots descobrir com està feta? Pensa-ho un moment abans de continuar:

A cada casella hi ha un sol dígit. A la primera fila hi ha el 7, alineat a la dreta. A la segona fila hi ha el 14, que és el doble de 7, alineat a la dreta. A la tercera fila hi ha el 28, que és el doble de 14, alineat a la dreta. I així successivament; a cada fila hi ha el doble del número de la fila anterior, alineat a la dreta.
Hi ha 16 files (la darrera és la del 229376); però podríem haver continuat la graella fins a arribar al número de files que volguéssim (la graella també tindria més columnes).

Transformo la graella de la següent manera: Deixo al mateix lloc la primera fila i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Després elimino les columnes buides de l’esquerra:

Deixo al mateix lloc les files primera i segona, i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Després elimino les columnes buides de l’esquerra:

Deixo al mateix lloc les files primera, segona i tercera, i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Després elimino la columna buida de l’esquerra:

Deixo al mateix lloc les files primera, segona, tercera i quarta, i desplaço totes les altres, dues columnes a la dreta. Ara ja no queda cap columna buida a l’esquerra, que s’hagi d’eliminar:

Vaig repetint aquest procés per les altres files. Al final em queda aquesta graella:

Aquesta és la curiosa graella de números a la que es refereix el títol.

Agafo una part d’aquesta graella: la intersecció de les 4 primeres files amb les 8 primeres columnes, i sumo:

Fixa’t en la seqüència numèrica 142857 de les sis primeres columnes de l’esquerra.

Ara, de la mateixa graella agafo la intersecció de les 8 primeres files amb les 16 primeres columnes, i sumo:

La seqüència numèrica 142857 es repeteix dues vegades a les dotze primeres columnes de l’esquerra.

De la mateixa graella, agafo la intersecció de les 11 primeres files amb les 22 primeres columnes, i sumo:

La seqüència numèrica 142857 es repeteix tres vegades a les divuit primeres columnes de l’esquerra.

Sembla que si prenem prou tros de la graella (que, si cal, es pot anar ampliant), podem aconseguir que la seqüència numèrica 142857 es repeteixi tantes vegades com vulguem. Mira:

Si a les sis columnes de la dreta hi ha 138176 en lloc de 142857 és perquè la graella s’ha interromput a la fila del 229376. Si s’hagués continuat amb la fila del 458752, la del 917504, la del 1835008, etc., aquest 138176 seria un altre 142857. Mira:

Aquesta contínua repetició del 142857 forma la primera part d’aquest misteri de 7 ; però la cosa no s’acaba aquí. Mira què passa si es fa la divisió decimal de 1 entre 7:

Tant si es fa la divisió a mà com si es fa amb la calculadora, el quocient és:

0,142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857

Dóna un número decimal periòdic pur de període 142857. Aquesta és la segona part d’aquest misteri del 7. L’interrogant és òbvi:

té quelcom a veure una part del misteri amb l’altra?.

Pregunta per a estudiants de secundària als que els agradin les matemàtiques.

Salut!, Pau i Bé

i recorda: Distància, mascareta i mans netes.

Una de números quadrats

Enigma matemàtic “difícil” de dilluns, 11 de maig de 2020.

No permetis que el teu talent matemàtic es rovelli.

EXERCITA’L !!

El 12 de maig de 1900 va néixer a Barcelona el professor Pere Puig Adam, matemàtic interessat en trobar la manera òptima d’ajudar els alumnes a aprendre matemàtiques. És per això que la FESPM (Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemàticas), ens convida cada 12 de maig a celebrar el Dia Escolar de les Matemàtiques. I com que no es poden encabir totes les matemàtiques escolars en un sol dia, aquesta que avui comencem és la Setmana Escolar de les Matemàtiques.
La imatge del principi és el cartell que han fet a l’Escola Immaculada, de Lloret de Mar, per a la Setmana Escolar de les Matemàtiques 2020. L’ha fet una alumna de sisè; una mestra de l’escola, la Ceci, l’ha compartit amb nosaltres penjant-lo al compte que ADEMGI (Associació DEnsenyants de Matemàtiques de les comarques GIronines) té a Telegram.

Els 100 primers números quadrats.

Recordes els números quadrats? Són aquells números naturals que es poden obtenir elevant al quadrat algun número natural; per exemple:

  • 1 és número quadrat perquè 1 al quadrat és 1 (1 x 1 = 1); diem que 1 és el quadrat de 1.
  • 4 és número quadrat perquè 2 al quadrat és 4 (2 x 2 = 4); diem que 4 és el quadrat de 2.
  • 9 és número quadrat perquè 3 al quadrat és 9 (3 x 3 = 9); diem que 9 és el quadrat de 3.
  • Etc.

En canvi, 2 no és número quadrat perquè no hi ha cap número natural que elevat al quadrat doni 2; el mateix passa amb 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, etc.

Parteixo cada número quadrat en dues parts. La de la dreta és la xifra de les unitats. La de l’esquerra és el número format per la resta de xifres. Observa la taula següent, amb els 100 primers números quadrats “partits”:

Els 100 primers números quadrats, “partits”.


Els números sobre fons groc són els números quadrats la part esquerra dels quals és un números parell; en canvi, si la part esquerra és un número imparell, el fons és blau.
Pels números quadrats que tenen un sis a la seva part dreta, aquesta està escrita en vermell; per la resta de números, està escrita en negre.


Fixa’t que hi ha una doble coincidència:

  • Sempre que la part esquerra és imparell, la part dreta és un sis.
  • Sempre que la part dreta és un sis, la part esquerra és imparell.

En llenguatge lògic matemàtic, diríem:
Per a qualsevol número quadrat entre 1 i 10000, la part esquerra és imparell si, i només sí, la part dreta és 6.

Investiga.

Podem afirmar que això, que veiem que es compleix per als números quadrats entre 1 i 10000, és cert per a TOTS els números quadrats?.

Explica:
Prova de resoldre l’enigma. Després, si vols, pots dir-me com ho has fet (o fins on has arribat, en cas de que no hagis trobat cap solució). No em diguis només el resultat. Fes fotos amb el mòbil dels fulls que has escrit i envia-me-les adjuntades a un correu electrònic. Les meves adreces són: pau.casanyas@uvic.cat o bé paucasanyas@gmail.com
Jo m’ho miraré i t’ho retornaré amb comentaris. Guanya punts a la lliga.

Comentari:
Cada mes, la RSME (Real Sociedad Matemática Española) planteja el Problema del mes.

Hi ha diverses categories. El que han plantejat aquest mes de maig per les i els estudiants de segon cicle d’ESO (en diu categoria Cadet), té relació amb l’enigma que t’he plantejat. És el següent:

RSME. Problema del mes de maig per a la categoria Cadet.

Traduït al català, fa:
Joe Cooper i el vell McNamara son dos ramaders de l’Old Far West. Han fet de cowhands tota la seva vida i tenen un bon ramat de vaques, a mitges.

Joe Cooper i el vell McNamara.

Cansats d’anar tot el dia rere les vaques, decideixen canviar-les per ovelles, que els semblen més fàcils de menar.

1 ovella – 10 dòlars.

Al mercat de bestiar, les ovelles tenen un preu fix; un ovella val 10 dòlars. En canvi el preu de les vaques és variable; et paguen cada vaca a un preu igual al número de vaques que vols vendre:

  • Si vens una sola vaca, et donen 1 dòlar.
  • Si vens dues vaques, te les pagues a 2 dòlars cada una; et donen 4 dòlars.
  • Si vens tres vaques, te les pagues a 3 dòlars cada una; et donen 9 dòlars.
  • Etc.
El preu de cada vaca és igual al número de vaques que portes a vendre.

D’acord, és una manera ben estúpida de comprar vaques; però d’alguna manera han d’introduir els números quadrats ( 1, 4, 9, etc.) al problema.

Joe Cooper i el vell McNamara venen tot el ramat de vaques i, amb els diners que fan, compren tantes ovelles com poden. Al final, tenen un ramat amb un nombre imparell d’ovelles i els queden uns pocs dòlars, que no els arriben per comprar una ovella més. Amb aquests dòlars compren una cabra.

Les cabres són més barates que les ovelles.

Quan arriben a casa, es reparteixen els animals. Ara l’un, ara l’altre, van triant una ovella del ramat, fins que només queda l’última ovella i la cabra. Aleshores el vell McNamara diu a Joe Cooper:

El vell McNamara i Joe Cooper.
  • “Jo em quedaré l’ovella i tu et quedes la cabra.
  • “D’aquesta manera, tu hi surts guanyant”, li diu Joe Cooper.
  • “Per compensar-te, et dono el meu antic revòlver Colt, li diu el vell.
Revòlver Colt del vell McNamara.

I d’aquesta manera van tancar el tracte, de manera satisfactòria per a tots dos.

Pregunta.

En quants dòlars van valorar l’antic revòlver Colt del vell McNamara?.

Acabo amb un vídeo, per celebrar la feina ben feta.
Si t’agraden les emocions fortes, mira’l atentament fins al final:

Que hi ha algú?

Salut!, Pau i Bé
i recorda: Distància, mascaretes i mans netes.