Pessic de Matemàtiques 0020

PM0020

Màxim i mínim d’una funció lineal de dues variables restringida a una regió (2).

 Si F(x,y) = a . x + b . y és una funció lineal de dues variables x i y , a cada punt (x,y) del pla F(x,y) li fa correspondre un valor.
Sigui Q un quadrilàter del pla de vèrtex ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) i ( x4 , y4 ) ,  Siguin A ( xa , ya )B ( xb , yb ) dos d’aquests vèrtex tals que el segment AB és un costat del quadrilàter i F( xa , ya ) = F(xb , yb ). Llavors F(x,y) fa correspondre el mateix valor a tots els punts d’aquest costat AB.
Si el valor que F(x,y) pren als punts A i B és el màxim de F( x1 , y1 ) , F( x2 , y2 ) , F( x3 , y3 ) i F( x4 , y4 ) , llavors a tots els punts del segment AB, costat del quadrilàter Q, F( x,y) pren el seu valor màxim, dins el quadrilàter.

Observació: Aquest resultat també és vàlid per a polígons que tinguin un número de costats diferents de 4.

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest:

Index de tots els Pessics de Matemàtiques.

Pessic de Matemàtiques 0019

PM0019

Funció lineal de dues variables constant sobre una recta del pla.

 Si F(x,y) = a . x + b . y és una funció lineal de dues variables x i y , a cada punt (x,y) del pla F(x,y) li fa correspondre un valor.
Sigui r és una recta del pla que té dos punts ( x1 , y1 ) i ( x2 , y2 ) als que F(x,y) els fa correspondre el mateix valor. Llavors F(x,y) fa correspondre aquest mateix valor a tots els punts de la recta r,  és a dir, F(x,y) és constant sobre la recta r.

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest:

Index de tots els Pessics de Matemàtiques.

Pessic de Matemàtiques 0018

PM0018

Màxim i mínim d’una funció lineal de dues variables restringida a una regió (1).

 

Si F(x,y) = a . x + b . y és una funció lineal de dues variables x i y , a cada punt (x,y) del pla F(x,y) li fa correspondre un valor.
Sigui Q un quadrilàter del pla de vèrtex ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) i ( x4 , y4 ) ,  tals que F(x,y) els fa correspondre valors diferents.
El punt (x,y) del quadrilàter Q  on F(x,y) pren el valor màxim és un dels punts ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) i ( x4 , y4 ) i el punt (x,y) del quadrilàter Q  on F(x,y) pren el valor mínim també és un dels punts ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) i ( x4 , y4 ) .


Observació: Aquest resultat també és vàlid per a polígons que tinguin un número de costats diferents de 4.

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest:

Index de tots els Pessics de Matemàtiques.

Pessic de Matemàtiques 0017

PM0017

Multiplicació d’una desigualtat per un nùmero diferents de zero.

 

Si es multiplica una desigualtat per un número estrictament positiu, la desigualtat es manté; però si es multiplica per un número estrictament negatiu, la desigualtat inverteix el signe.
Exemples:
(-2) < 3 . Si multiplico per 5 , tinc: (-2) . 5 < 3 . 5 , és a dir: (-10) < 15 .
(-2) < 3 . Si multiplico per (-4) , tinc: (-2) . (-4) > 3 . (-4) , és a dir: 8 > (-12) .

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest:

Index de tots els Pessics de Matemàtiques.

Pessic de Matemàtiques 0016

PM0016

Una mateixa recta té infinitat d’equacions diferents.

 

r és una recta del pla d’equació a . x + b . y = c. Si multiplico (o divideixo) els coeficients a i b , i el terme independent c per un mateix número diferent de zero, la nova equació correspon a la mateixa recta.
Exemples:
Si r té equació 6 . x + 2 . y = 150 , l’equació 3 . x + 1 . y = 75 també és equació de r. Dividint entre 2 la primera equació, he obtingut la segona.
Si r té equació 1/2 . x + 1/3 . y = 2 , l’equació 3 . x + 2 . y = 12 també és equació de r. Multiplicant per 6 la primera equació, he obtingut la segona.

Observació: He multiplicat per 6 perquè el mínim comú múltiple dels denominadors 2 i 3 és 6 :  m.c.m.(2,3)=6 . D’aquesta manera obtinc una equació de r sense coeficients fraccionaris.

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest:

Pessic de Matemàtiques 0015

PM0015

Situació relativa dels punts de pla respecte a una recta continguda en ell.

 r és una recta del pla d’equació a . x + b . y = c. Aquesta recta r divideix el pla en dos semiplans S1 i S2 . Si ( x0 , y0 ) és un punt del pla, passarà una de les tres coses següents:

a . x + b . y = c
a . x + b . y < c
a . x + b . y > c

Si a . x + b . y = c , el punt ( x0 , y0 ) està sobre la recta.
Si a . x + b . y < c , el punt ( x0 , y0 ) no està sobre la recta. Està en un dels dos semiplans. posem que està sobre S1 . Llavors:
S1 està format per tots els punts ( x , y ) del pla tals que a . x + b . y < c , i cap més.
L’altre semiplà S2 està format per tots els punts ( x , y ) del pla tals que a . x + b . y > c , i cap més.Exemple: Si r és la recta d’equació 6 . x + 2 . y = 150

Dic S1 al semiplà que està per sota i a l’esquerra de r i S2 a l’altre semiplà.
El punt ( 0 , 0 ) és a S1
6 . 0 + 2 . 0 < 150
El semiplà S1 està format per tots els punts ( x , y ) del pla que compleixen 6 . x + 2 . y < 150 i cap més.
El semiplà S2 està format per tots els punts ( x, y ) del pla que compleixen 6 . x + 2 . y > 150 i cap més.

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest:

Pessic de Matemàtiques 0014

PM0014

Relació entre zeros i extrem relatiu en una funció quadràtica (paràbola).

Si una funció quadràtica f(x) =  a . x2 + b . x + c té dos zeros ( perquè b2 > 4.a .c ), la seva gràfica, que és una paràbola, talla l’eix d’abscisses (eix de les x) en dos punts ( x1 , 0 ) i ( x2 , 0 ) , d’abscisses x1 i x2 .

L’abscissa x0 del seu extrem relatiu és la mitjana aritmètica d’aquestes dues abscisses:
x0 = 1/2 . ( x1 + x2 )

Si una funció quadràtica f(x) =  a . x2 + b . x + c té un sol zero ( perquè b2 = 4.a .c ), la seva gràfica, que és una paràbola, és tangent a l’eix d’abscisses; el toca en un únic punt ( x1 , 0 ) , d’abscissa x1 . L’abscissa del seu extrem relatiu és aquest mateix x1 .

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest:

Pessic de Matemàtiques 0013

PM0013

Extrems relatius de les funcions quadràtiques.

Les paràboles còncaves, que són les gràfiques de les  funcions quadràtiques f(x) =  a . x2 + b . x + c , amb a > 0 , tenen un únic extrem relatiu, que és un mínim.
Les paràboles convexes, que són les gràfiques de les  funcions quadràtiques f(x) =  a . x2 + b . x + c , amb a < 0 , tenen un únic extrem relatiu, que és un màxim.

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest:

Pessic de Matemàtiques 0012

PM0012

Zeros d’una funció quadràtica.

Una funció quadràtica és una funció de la forma f(x) =  a . x2 + b . x + c , amb a diferent de zero. Els seus zeros són les solucions de l’equació de segon grau: a . x2 + b . x + c = 0  . Segons la funció, de zeros pot haver-n’hi dos, un o cap.

Si b2 > 4 . a . cf(x) dos zeros; la seva gràfica és una paràbola que talla l’eix d’abscisses (el de les x) per dos punts.

Si b2 = 4 . a . cf(x) un zero, que es diu que és doble; la seva gràfica és una paràbola tangent a l’eix d’abscisses (el toca en un sol punt).

Si b2 < 4 . a . cf(x) nocap zero; la seva gràfica és una paràbola que no talla l’eix d’abscisses.

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest:

Pessic de Matemàtiques 0011

PM0011

Gràfica d’una funció quadràtica.

Una funció quadràtica és una funció de la forma f(x) =  a . x2 + b . x + c , amb a diferent de zero. La seva gràfica és una parábola. Aquesta paràbola pot ser còncava (en forma de U ) o convexa  (en forma de U invertida).
Si, a f(x), el coeficient de x2 ( a ) és estrictament positiu ( a > 0 ), la paràbola és còncava. Per a valors de x molt grans en valor absolut (x = + ó – 100 ; x = + ó – 1000 ; x = + ó – 10000 ; x = + ó – 100000 ; etc.) f(x) s’acosta a més infinit.
Si, a f(x), el coeficient de x2 ( a ) és estrictament negatiu ( a < 0 ), la paràbola és convexa. Per a valors de x molt grans en valor absolut (x = + ó – 100 ; x = + ó – 1000 ; x = + ó – 10000 ; x = + ó – 100000 ; etc.) f(x) s’acosta a menys infinit.

Altres Pessics de Matemàtiques relacionats amb aquest: